حساب اعداد و مبناها-مبناهای متداول

آیا فقط مبنای دو و ده وجود دارد ؟ خیر! هر مبنایی می تواند وجود داشته باشد.
مثلاً شما می توانید شمارنده‏ای درست کنید که 3 رقم داشته باشد (مبنای 3) ؛یا شمارنده‏ای درست کنید که 25 رقم داشته باشد (مبنای 25).
در مبناهایی که بیش از ده رقم دارند ،به جای ارقام بعد از 9 می‏توان از حروف الفبا استفاده نمود. A به جای رقم بعد از 9 و … .

 

سیستم مبناهای هشت (Octal) و شانزده (hexadecimal یا HEX) ،به عنوان نمایش مناسبی برای بیان و کار با ارقام دودویی به کار می‏روند.
چرا که نمایش اعداد دودویی به خاطر طولانی بودن آنها ،دشوار است و مبناهای هشت و یا شانزده به صورت راحت تری مورد استفاده و انجام محاسبات قرار می گیرند.
مثلاً بیان عدد 100010010110 به صورت معادل آن در مبنای شانزده 896_H آسان تر است.
از این رو تبدیل از مبنای دو به مبنای هشت و شانزده و بالعکس ،نقش مهمی در رایانه ‏ها دارد.

در مبنای هشت از ارقام 0 و1 و… و7 استفاده می ‏شود و در مبنای شانزده از ارقام 0 ,1 و… و9 وF ,E ,D ,C ,B ,A .
در جدول زیر نمایش دودویی ،ده‏دهی ،هشت ‏هشتی و شانزده ‏شانزدهی برای اعداد 0 تا 15 نشان داده شده است.

 

 

برای نمایش یک عدد دودویی به معادل شانزده ‏شانزدهی ،از سمت راست گرو‏ه های چهاربیتی را جدا کره و هر عدد چهاربیتی دودویی را با معادل شانزده ‏شانزدهی ‏اش طبق جدول جایگزین می ‏کنیم.
برای تبدیل از شانزده ‏شانزدهی به دودویی ،هر رقم شانزده شانزدهی را با چهار بیت دودویی معادلش جایگزین می ‏کنیم.
به مثال زیر توجه کنید :
تبدیل عدد دودویی 101011110101 به شانزده ‏شانزدهی :
ابتدا این عدد به گروه ‏های چهاربیتی در می‏ آید : 0101 – 1111 – 1010
سپس هر گرو چهاربیتی با معادل شانزده‏ شانزدهی‏ اش جایگزین می ‏شود :

0101   1111   1010
5         A         F

بنابراین : 101011110101_b = AF5_h

 

در مورد اعداد اعشاری نیز به همین صورت عمل می ‏کنیم ،با این تفاوت که از چپ به راست (یعنی بعد از علامت ممیز) تقسیم بندی چهاررقمی انجام می ‏شود.
هر رقم در مبنای هشت ،برابر با سه رقم دودویی است.
برای تبدیل یک عدد از مبنای دو به مبنای هشت معادل آن ،از سمت راست گروه‏ های سه ‏بیتی را جدا کرده و هر عدد سه بیتی دودویی را با معدل هشت هشتی اش که در جدول بالا آمده است ،جایگزین می‏ کنیم.
در مورد اعداد اعشاری نیز به همین صورت عمل می کنیم ،با این تفاوت که از چپ به راست (یعنی بعد از علامت ممیز) تقسیم بندی سه رقمی انجام می ‏شود.
همچنین برای تبدیل از مبنای هشت به مبنای دو نیز هر رقم مبنای هشت را با سه بیتی معدلش جایگزین می کنیم.
به مثال زیر توجه کنید :
– تبدیل عدد دودویی 111101 به مبنای هشت معادل آن :
ابتدا این عدد به گروه ‏های سه‏ بیتی در می آید : 101 – 111
سپس هر گروه سه‏ بیتی با معادل هشت ‏هشتی اش جایگزین می ‏شود :

101   111
5       7

بنابراین : 111101_B = 75_O